Questão 1
Tema: Lógica proposicional
Toda proposição declarativa é ou verdadeira ou falsa na lógica clássica, não podendo ser simultaneamente verdadeira e falsa.
A seguir você terá um panorama do que mais apareceu nos últimos anos e do que tem grande chance de reaparecer. Trate este material como um roteiro de trabalho. Aprofunde cada tópico. Acompanhe o próximo edital assim que for publicado. Marque o que já estudou e o que ainda falta. Construa mapas mentais e mantenha um caderno de erros conforme indicado na parte 1.
O conteúdo apresentado está alinhado ao núcleo comum de AEP da Polícia Federal. Ele serve como guia de referência para orientar seus estudos com foco em pontos recorrentes nas avaliações recentes. Cada seção traz explicações objetivas, exemplos práticos e pequenos checklists. A recomendação é estudar cada item com profundidade, pois o que segue é uma síntese direcionada ao que efetivamente aparece nas questões. Esta versão toma por base o edital de abertura e os cadernos de prova aplicados em 27/07/2025, com gabaritos preliminares disponibilizados oficialmente. Sugere se conferir a publicação mais recente no site do Cebraspe e na página da Polícia Federal para eventuais ajustes posteriores. Referências oficiais consideradas: Edital de Abertura do Cebraspe e a área de Provas objetivas e Gabaritos da Polícia Federal.
O levantamento sintetiza padrões recorrentes e orienta revisões dirigidas.
Definições Proposição é uma sentença declarativa com valor de verdade. Conectivos usuais incluem negação, conjunção, disjunção, condicional e bicondicional. Precedência típica: negação, conjunção, disjunção, condicional e bicondicional. Tautologia é verdadeira em todas as avaliações, contradição é falsa em todas, contingência é verdadeira em algumas avaliações e falsa em outras.
Exemplo prático Em “se o laudo está concluído então o processo segue para assinatura”, negar corretamente é “o laudo está concluído e o processo não segue para assinatura”.
Definições Tabela verdade completa tem duas elevado ao número de átomos. Equivalência lógica pode ser demonstrada por tabela ou por leis como De Morgan, distributividade e condicional como disjunção.
Exemplo prático Mostrar que “não P ou Q” é equivalente a “se P então Q” por tabela ou por regras conhecidas.
Definições Validade depende da forma. Um único contraexemplo com premissas verdadeiras e conclusão falsa torna o argumento inválido.
Exemplo prático Avaliar se “P então Q; não P; logo não Q” é válido. Trata se de negar o antecedente, que é falácia.
Definições Modus Ponens e Modus Tollens, Silogismo Hipotético e Disjuntivo, Conjunção, Simplificação e Adição formam um conjunto útil de derivação rápida.
Exemplo prático De “P ou Q” e “não P” conclui se “Q”.
Definições Quantificador universal e existencial, escopo e ordem. Regras de negação: negar “todo” produz “existe” com negação do predicado; negar “existe” produz “todo” com negação.
Exemplo prático “Todo agente verifica algum item” e “existe um item que todo agente verifica” não têm o mesmo significado.
Definições Operações de união, interseção, diferença e complemento. Fórmula de inclusão exclusão em dois e três conjuntos. Leitura de regiões em diagramas de Venn.
Exemplo prático Estimar quantos registros possuem ao menos uma de três características com dados de interseções.
Definições Princípios aditivo e multiplicativo, permutações, arranjos, combinações, anagramas com repetição, contagens por simetria e complemento.
Exemplo prático Contar senhas com tamanho fixo sob restrições de caracteres.
Definições Tabelas e quadros de possibilidades para alocar pessoas, datas e recursos com restrições.
Exemplo prático Distribuir equipes em turnos evitando conflitos de especialidade.
Definições Confusões entre necessidade e suficiência, leitura indevida de “ou” como exclusivo, negações incorretas de condicionais e quantificações, e extrapolações indevidas em contagens.
Exemplo prático Corrigir a negação de “se o sistema autentica então o acesso é permitido”.
Toda proposição declarativa é ou verdadeira ou falsa na lógica clássica, não podendo ser simultaneamente verdadeira e falsa.
A sentença “Feche a porta” é uma proposição na lógica clássica.
A negação de uma conjunção é logicamente equivalente à disjunção das negações.
A negação de uma disjunção é equivalente à conjunção das negações.
A contrarrecíproca de se P então Q é se Q então P.
A contrarrecíproca de se P então Q é se não Q então não P e é logicamente equivalente ao condicional original.
O condicional P então Q é logicamente equivalente a não P ou Q.
O bicondicional P se e somente se Q é verdadeiro quando P e Q têm o mesmo valor lógico.
Uma fórmula com n proposições atômicas possui 2 elevado a n linhas na tabela verdade completa.
Para verificar se uma fórmula é tautologia basta encontrar uma linha verdadeira.
As leis de De Morgan permitem transformar negação de conjunção em disjunção das negações e vice versa.
Dupla negação altera o valor lógico de uma proposição.
Um argumento é válido quando é impossível ter premissas verdadeiras e conclusão falsa ao mesmo tempo.
Se um argumento possui uma instância com premissas verdadeiras e conclusão falsa ele é inválido.
Modus Ponens permite concluir Q a partir de P e de se P então Q.
Modus Tollens permite concluir não P a partir de não Q e de se P então Q.
Afirmar o consequente é uma regra de inferência válida.
Negar o antecedente é uma falácia comum.
O Silogismo Hipotético encadeia condicionais do tipo se P então Q e se Q então R para concluir se P então R.
O Silogismo Disjuntivo permite concluir Q a partir de P ou Q e não Q.
Em notação sem parênteses a negação tem maior precedência do que conjunção e disjunção.
O bicondicional tem a mesma precedência que a conjunção.
A negação de todo x P de x é existe x não P de x.
A negação de existe x P de x é todo x não P de x.
Trocar a ordem de quantificadores diferentes, em geral, preserva o significado.
A frase todo policial conhece alguém é uma proposição quantificada que pode ser formalizada com quantificadores aninhados.
A interseção de A com B é o conjunto dos elementos que pertencem simultaneamente a A e B.
O complemento de A em relação ao universo U é U menos A.
A cardinalidade de A união B é igual à cardinalidade de A mais a de B em qualquer situação.
A fórmula de inclusão e exclusão para dois conjuntos diz que o tamanho da união é igual ao tamanho de A mais o tamanho de B menos o tamanho da interseção.
O princípio multiplicativo permite contar escolhas em etapas independentes multiplicando as possibilidades de cada etapa.
Permutações simples de n elementos sem repetição totalizam n fatorial arranjos distintos.
Combinações de n elementos tomados k a k consideram a ordem das escolhas.
Arranjos de n elementos tomados k a k consideram a ordem.
Progressões aritméticas têm razão constante e a diferença entre termos consecutivos é fixa.
Se a diferença entre termos consecutivos aumenta de forma linear, a sequência é necessariamente geométrica.
Se um valor aumenta vinte por cento e depois diminui vinte por cento o valor final fica igual ao inicial.
Variação percentual composta pode ser calculada pelo produto dos fatores multiplicativos de cada etapa menos um.
Uma relação reflexiva em um conjunto exige que todo elemento esteja relacionado consigo mesmo.
Uma função bijetora é simultaneamente injetora e sobrejetora.
Se uma função é injetora então necessariamente é sobrejetora.
Problemas de organização podem ser resolvidos por quadros de possibilidades com marcação de sim e não.
Em quadros lógicos a marcação de exclusão pode propagar deduções por linhas e colunas.
Para negar um condicional é suficiente manter o antecedente e negar o consequente.
Para negar um bicondicional basta negar uma das proposições.
Uma tautologia é verdadeira em todas as linhas da tabela verdade.
Uma contradição pode ser verdadeira em pelo menos uma linha da tabela.
A expressão não P ou Q é equivalente a se P então Q.
A expressão P e não P é uma contingência.
Na lógica clássica a disjunção inclusiva é verdadeira quando pelo menos uma das proposições é verdadeira.
Em provas da banca é comum a leitura de ou como exclusivo, por isso P ou Q é falso quando P e Q são verdadeiros.
Em sentenças com mais de um quantificador o escopo e a ordem importam para o significado.
As regras de negação de quantificadores trocam o quantificador e negam o predicado.
Se a forma lógica é válida então toda instância com a mesma forma tem conclusão verdadeira sempre que as premissas forem verdadeiras.
Se um argumento é inválido ainda assim pode ter conclusão verdadeira.
Para três conjuntos a fórmula de inclusão e exclusão adiciona as interseções duplas e subtrai a interseção tripla.
Para três conjuntos a união é igual à soma das cardinalidades individuais menos as somas das interseções duplas mais a interseção tripla.
Em anagramas com letras repetidas divide se a permutação total pelos fatoriais das repetições.
Distribuir pessoas em cadeiras circulares tem a mesma contagem de permutações que em fila.
Se x é diretamente proporcional a y então x dividido por y é constante.
Se x é inversamente proporcional a y então x vezes y é constante.
Os ponteiros das horas e dos minutos coincidem onze vezes entre meio dia e meia noite.
O ângulo entre ponteiros às quinze horas é de noventa graus.
Se a diferença de idades entre duas pessoas é d então essa diferença permanece d ao longo do tempo.
Em mistura de soluções, a concentração final pode ser obtida por média ponderada das concentrações com pesos igual ao volume.
Se ser servidor da PF é condição necessária para prestar determinado concurso então quem não é servidor não pode prestar.
Se ser aprovado em curso de formação é condição suficiente para nomeação então todo aprovado será nomeado.
Negar existe x tal que P de x resulta em todo x tal que não P de x.
Negar todo x tal que P de x resulta em todo x tal que não P de x.
Para testar equivalência pode ser eficiente verificar se a bicondicional entre as expressões é tautologia.
Para mostrar que um argumento é inválido basta construir um contraexemplo com premissas verdadeiras e conclusão falsa.
Em problemas de lugares com pistas cruzadas é útil fixar uma ordem e aplicar exclusões lineares.
Afirmar o consequente conclui P a partir de P então Q e de Q e é inválida.
Negar o antecedente conclui não Q a partir de P então Q e de não P e é válida.
De P ou Q e não P conclui se Q por silogismo disjuntivo.
Da conjunção P e Q pode se concluir P e pode se concluir Q por simplificação.
A conjunção distribui sobre a disjunção.
A disjunção distribui sobre a conjunção.
Negar P se e somente se Q resulta em P se e somente se não Q.
O bicondicional pode ser quebrado em dois condicionais simultâneos.
O ou exclusivo é verdadeiro quando exatamente uma das proposições é verdadeira.
O ou exclusivo é equivalente à disjunção inclusiva padrão.
Traduzir frases como se e somente se exige cuidado com necessidade e suficiência simultâneas.
Se todo A é B e algum B não é A então a equivalência A se e somente se B é verdadeira.
Em banca Cebraspe, checagens rápidas de validade com equivalências conhecidas economizam tempo.
Construir tabelas verdade completas é sempre a estratégia mais rápida.
Para A, B e C a fórmula correta é A mais B mais C menos as interseções duas a duas mais a interseção tripla.
Se A está contido em B então a cardinalidade de A é menor ou igual à de B.
Se A e B são disjuntos então a cardinalidade da união é a soma das cardinalidades.
As sentenças todo x existe y P de x e y e existe y todo x P de x e y têm o mesmo significado em geral.
De P ou Q e de se P então R e se Q então R conclui se R por prova por casos.
Se P então Q é logicamente equivalente à sua contrarrecíproca.
Para refutar uma generalização universal basta fornecer um único contraexemplo.
De P(a) para um indivíduo específico pode se concluir todo x P(x).
De todo x P(x) pode se concluir P(a) para um indivíduo específico.
O número de anagramas distintos da palavra POLÍCIA sem acentos é oito fatorial dividido por repetições quando houver.
Em filas com pessoas A e B que não podem ficar juntas conta se o total e subtrai se os casos em que estão juntas.
Se a razão entre duas quantidades é três para cinco então a primeira representa três oitavos do total.
A sequência de aumentos de dez por cento e depois vinte por cento equivale a um fator de um vírgula um vezes um vírgula dois.
Entre zero e sessenta minutos os ponteiros fazem ângulo reto quatro vezes.
Referências oficiais: Edital de Abertura do Cebraspe e a área de Provas objetivas e Gabaritos da Polícia Federal. Obras recomendadas: Copi e Cohen em Lógica, Enderton em Introdução à Lógica Matemática, apostilas e cadernos da banca com matriz compatível. Priorize versões atualizadas.